ترجمه مقاله اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره مدل جریان خون یک بعدی
اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره مدل جریان خون یک بعدی
Fluid friction and wall viscosity of the 1D blood flow model
چکیده
ما به مطالعه رفتار امواج پالس آب به یک لوله انعطاف پذیر برای کاربرد به شبیه سازی های جریان خون می پردازیم. در امواج پالس هر دو اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره از عوامل میرایی هستند و ارزیابی جدا گانه آن ها سخت می باشد. در این مقاله، ضرایب اصطکاک سیال و ویکسوزیته سیال با برازش مدل جریان یک بعدی غیر خطی با داده های آمایشی براورد می شود. در مرحله آزمایشی، یک لوله قابل اتساع به پمپ پیستون از یک سو متصل باشد و از سوی دیگر بسته باشد. جا به جایی فشار و دیواره به طور هم زمان اندازه گیری می شود. یک هماهنگی خوب بین پیش بینی مدل و آزمایشات حاصل می شود. برای کاهش نوسانات و دامنه ها، اثر ویسکوزیته دیوار بر روی موج پالس به اندازه ویسکوزیته سیال مهم خواهد بود.
لغات کلیدی: تکثیر موج پالس، مدل سازی یک بعدی، اصطکاک سیال، ویسکوالاستیسیته،
مقدمه
اگرچه مدل سازی جریان خون دارای یک تاریخچه طولانی است، با این حال هنوز یک مسئله چالش برانگیز است. اخیرا، مدل سازی یک بعدی از جریان خون توجه زیادی جلب کرده است. دلیل این است که این یک گزینه با تعادل خوب بین پیچیدگی و هزینه محاسباتی بالا است(Alastruey et al., 2012a; Cousins and Gremaud, 2012; Olufsen et al., 2012; Reymond et al., 2013; van de Vosse and Stergiopulos, 2011; Yamamoto et al., 2011).
این خود نه تنها برای پیش بینی توزیعات وابسته به زمان سرعت جریان و فشار در شبکه بلکه برای پیش بینی خواص مکانیکی دیواره مهم است. بدیهی است که این منجر به درک بهتر از پاتولوژی های قلبی عروقی می شود.
مدل های دینامیک سیالات 1 بعدی غیر خطی بوده و به این ترتیب قادر به پیش بینی جریان، سطح و فشار هستند. در چارچوب یک سیستم دینامیک، عوامل میرایی مختلفی نظیر ویسکوزیته جریان، ویسکوالاستسییته دیواره و تغییرات هندسی رگ ها وجود دارند. مطالعات قبلی نشان داد که در رگ های بدون تغییرات هندسی، ویسکوزیته سیال و دیواره مهم ترین عوامل میرایی هستند( متنی و همکاران 2007). مقایسات بین داده های درون تنی و مدل 1 بعدی نشان می دهد که پیش بینی های مدل یک بعدی ویسکو الاستیک از نظر فیزیولوژیگی اهمیت بیشتری از نوع الاستیگ که دارای فرکانس بالایی درپالس است دارد.
با این حال، مقایسات تنها کیفی یا نیمه کمی هستند و این به دلیل صحت و دقت پایین اندازه کیری های غیر مخرب و نبود مقادیر پارامتر خاص بیمار مدل یک بعدی برای هر نفر است. مقایسات کمی را می توان با شرایط آزمایشی درون شیشه ای یا برون تنی انجام داد. ردونری و همکاران 1989 لوله قابل اتساع را به پمپ پیستون متصل کردند که سیال را در امواج پالس در سرتاسر لوله به بیرون دفع می کند و داده های ازمایش با پیش بینی های عددی فرمول های مختلف مدل یک بعدی مقایسه کردند. در فرمولاسیون اول، آن ها یک قانون لوله الاستیک را پیشنهاد کرده و تئوری پویزلی برای توجیه ویسکوزیته سیال ارایه شد. در فرمول دیگر، ویسکوزیته سیال خطی از تئوری ومرزلی با قانون لوله ویسکو الاستیک پیش بینی شد که تطابق بهتری بین پیش بیتی ها و ازمایشات نشان داد. شرایط ازمایشی مشابه توسط بزم و همکاران 2009 با استفاده از مدل ویسکو الاستیک کلوین 3 جزیی ارایه شد. الساروی و همکاران 2011 یک مطالعه تفضیلی را با شرایط ازمایشی با شبکه ارایه کردند و ضرایب مدل ویسکو الاستیک ویگوت را با تست های کششی به جای برازش آن ها از امواج ارایه کردند. برای اصطلاح ویسکوزیته سیال، آن ها مقادیر مطالعات قبلی را استناد کردند که از امواح جریان سیال خون کروناری با مدل دیواره ویسکوالاستیک گرفته شده بود. در این مقاله ما به مطالعه رفتار امواج پالس آب به یک لوله انعطاف پذیر برای کاربرد به شبیه سازی های جریان خون می پردازیم. در امواج پالس هر دو اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره از عوامل میرایی هستند و ارزیابی جدا گانه آن ها سخت می باشد. در این مقاله، ضرایب اصطکاک سیال و ویکسوزیته سیال با برازش مدل جریان یک بعدی غیر خطی با داده های آمایشی براورد می شود. در مرحله آزمایشی، یک لوله قابل اتساع به پمپ پیستون از یک سو متصل باشد و از سوی دیگر بسته باشد. جا به جایی فشار و دیواره به طور هم زمان اندازه گیری می شود. یک هماهنگی خوب بین پیش بینی مدل و آزمایشات حاصل می شود.
تفاوت این مطالعه با مطالعات قبلی:
هر دو عوامل میرایی یعنی اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره مدل سازی می شوند در حالی که چندین تئوری باری براورد اصطکاک وجوددارد( بزم و همکاران 2007، لاگری 2000ف الفسون و همکاران 2000). از این روی مشخص است که اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره دارای اثرات میرایی بر امواج پالس هستند. این تفاوت های نسبی در وانگ و همکاران 2014 گزارش شده است. با این وجود ارزیابی ان ها از امواج پالس سخت است. با این حال ویسکو الاستیسیته دارای ثرات هموار کننده بر اشکار موجی خواهد بود در حالی که اصطکاک سیال این طور نیست.
ویسکو الاسیتسیه دیواره به شکلی جدید اندازه گیری می شود. ویسکوالاسیتسیته یک ماده جدید را به سختی می توان به طور صحیح حتی در شرایط درون شیشه ای اندازه گیری ر کرد در این مطالعه، ویسکوالاسیتسیته از طریق رابطه اختلال فشار- دیواره ظرف تحت شرایط عملیاتی تعیین می شود. فشار داخلی با سنسور فشار اندازه گیری شده و افشتگی دیواره با سرعت سنج دراپلر لیزری اندازه گیری می شود
طرح جذب و کاهش شوک به صورت حل کننده عددی استفاده می شود. در سیستم سهمی غیر خطی، شوک ها زمانی حادث می شوند که وضعیت اولیه مطلوب باشد. طرح بالادست یکنواخت برای قانون حفاظت طرحی است که قادر به جذب شوک بدون نوسانات غیر فیزیکی است و برای گسسته کردن و تجزیه معادلات حاکن و مقایسه با طرح مگ کروماگک استفاده می شود/
2- روش
2-1 مدل یک بعدی
ما از معادلات حاکم یک بعدی برای جریان عبوری از استوانه الاستیک با شعاع R بیان شده در متغیر های دینامیک سرعت جریان Q، سطح مقطع 
و فشار میانگین داخلی P استفاده می کنیم. معادلات 1 بعدی را می توان با انتگرال گیری در سطخ مقطع معادلات ناویر استروک متقارن از سیال غیر قابل تراکم در سرعت ثبات مشتق کرد که معادلات حفظ یک بعدی گشتاور و جرم را می دهد
که vx یک سرعت محوری، p تراکم سیال و v ویسکوزیته سینماتیک سیال است. پارامتر الفا و جمله آخر، بستگی به پروفیل سرعت دارند. به طور کلی، سرعت محوری تابعی از نختصات شعاع r یعنی 
است. در صورتی که فرض شود پروفیل دارای شکل 
یکسانی در هر مقطع عرضی در امتداد محور عمودی باست، تابع سرعت را می توان به صورت زیر تفکیک کرد: 
و u به صورتسرعت متوسط است. 
در صورتی که معلوم باشد، پارامتر الفا و مشتق 
در جمله تابع را می توان محاسبه کرد. تابع کشش را می توان به صورت 
اندازه گیری کرد. پروفیل شعاعی 
به شدت به عدد مورزلی بستگی دارد که با 
تعریف می شود که در آن مقدار 
فرکانس زاویه ای می باشد که جریان را مشخص می کند. در صورتی که و v ثابت باشند، تنها شعاع بر الفا و Cf اثر دارد که مقادیر آن باید با ازمایشاتی برای رگ های با قطر های مختلف تعیین شود. وقتی که نیروی اینرسی بزرگ باشد پر.فیل به صورت 
است. با لایه مرزی ویسگوز نازک، مرکز و شرایط مرزی غیر لغزشی را می توان براورد کرد. وقتی نیروی اینرسی کوچک باشد، پر.فیل به صورت سهمی است 
و نیروی ویسکوزیته غالب است. با پرفیل قانون توان، می توان جریان خون را به صورت 
و 
محاسبه کرد. مقدار Cf در سایر مطالعات تجربی نظیر( الستری 2011، مارکیندز و همکران 2009) گزارش شده است.
ویسکو الاسیتسیه دیواره را می توان با استفاده از مدل های مختلف ویسکوالاسیتسیته توصیف کرد(Holenstein et al. (1980), Reymond et al. (2009),) و در این رابطه مسائل عددی زیادی نیز مطرح شده است. در این مطالعه از مدل کویکت دو بعدی استفاده شده است
که E مدول یانگ و فی ضریب ویسگوزیته است. در سیاتو و همکاران 2011،و وانگ، 2013، نشان داده شده است که مدل با داده های ازمایشی برازش داشته و قادر به فیلتر فرکانس های بالا است.
برای لوله با دیواره نازک، کرنش محیطی 
را می توان به صورت زیر بیان کرد
که 
شعاع مرجع بدون بار گذاری و 
به صورت نسبت پواسون است و برای ماده غیر تراکمی 0.5 است. بر اساس قانون لاپلاس، تفاوت اصلی بین فشار داخلی و خارچی با فشار محیطی با معادله زیر به تعادل می رسد
لذابا معادلات 3 تا 5داریم
و
توجه کنید که شعاعR در مخرج کسر دو ضریب با R0 تعیین می شود با این فرض که اشفتگی ها کوچک باشند.
در صورتی که فرض شود 
ثابت است، تلفیق معادله 6 در معادله کشتاور یک بعدی برای حذف P می دهد
و
مدل یک بعدی به طور عددی با دو روش حل شد. روش ماکروکاک و MUSC. جزییات بیشتر در خصوص طرح تلفیق و شرایط مرزی توسط دلستری و لاگری 2013 و وانگ 2014 ارایه شده است. به طور دقیق مدل سازی شرایط مرزی میله فولادی در ازمایش را می توان با تحمیل شرایط مرزی معکوس در انتهای لوله الاستیک بدست اورد
2-2 شرایط ازمایشی
شرایط آزمایش در شکل 1 نشان داده شده است. پمپ پیستون مایع را به لوله پلی اورتان تزریق می کند. خروچی پمپ تابع سینوسی در زمان است که زمان و دوره آن از طریق کامپیوتر برنامه نویسی می شود. در نقطه اندازه گیری سنسور فشار به لوله تزریق می شود. اشفتگی دیواره لوله با LDV اندازه گیری می شود. سنسور فشار، پمپ و LDV با کامپیوتر کنترل می شوند و این با عملیات ابزار هذو ذخیره داده های اندازه گیری در 10 کیلوهرتز همراه است. انتهای لوله با یک فولاد ضد زنگ بسته شده و شرایط مرزی انعکاس کل در خروجی تحمیل می شود. امواج پالس در زمان های مختلف قبل از احیای وضعیت تعادل به صورت پس خور و پیش خور می باشند. جدول 1 خلاصه ای از پارامتر های لوله الاستیک و سیال را نشان می دهد . ضخامت دیواره H، قطر مرجع D، طول کل لوله L، فاصله از ورودی به دو نقطه اندازه گیری LA-LB، چگالی جریان برابر با p و ویسکوزیته سیسماتیگ v.
شکل 1: شرایط ازمایش: لوله الاستیک به رنگ زرد با میله ضد زنگ در سمت راست بسته می شود نقاط a-b نشان دهنده محل اندازه گیری است. پارامتر های لوله و سیال در جدول 1 خلاصه شده اند.
جدول 1: پارامتر های لوله و سیال
شکل 2: حلقه شعاع و فشار ازمایشی: حلقه یک دوره ای. سیستم در رژیم خطی است.
برای ارزیابی مدول کشسانی لوله های الاستیک ما شرایط ازمایشی را با شواهد کششی ارزیابی کردیم. دو نمونه از پلیمر های دیواره الاستیک برای استفاده در تست کششی استفاده شد. نمونه ها در سرعت 0.5 متر بر دقیقه توسعه یافته و این با سرعت یکسان ازاد شد. ما از روش حداقل مربعات برای برازش منححنی در برابر تابع 
استفاده کردیم که در آن c0 به صورت ثابت، E ضریب کشسانی یانگ، S برابر با سطح مقطع و L طول اولیه است.
براورد پارامتر
روش مورذ استفاده برای ارزیابی مدول یانگ به صورتز یر است : ویسکوزیته دیواره و اصطکاک سیال.
مدول یانگ
برای براورد مدول یانگ ، ما دو روش را پیشنهاد کردیم: با استفاده از شبه سازی های عددی و انتگرال گیری از منحنی فشار و شعاع که در شکل 2 نشان داده شده است.
لازم به ذکر است که سیستم در یک منطقه خطی قرار دارد. مقادیر E در هر وریکرد با تست کششی قیاس شد.
شبیه سازی های عددی: در رویکرد اول، با استفاده از این که سرعت موج پالش مستقیما مربوط به سفتی ناشی از فرمول مون کورتوگ بود، مدول یانگ در شبیه سازی های عددی نیز مطابق با پیک امواج متغیر بود.
با انتگرال گیری از لوله جریان ویسکو الاستیگ، زمان سرعت دیواره 
از زمان شروع به زمان 
تا زمان نهایی 
تغییر می کند به طوری که سیستم مکانیگی به صورت زیر تعیین می شود
از سری های زمانی فشار 
و جا به جایی نزدیک ارزیابی اصطلاج ویسکو الاستیگ 
مادامی ساده است که هر دو فشار 
و کار ها با اجزای الاستیک برابر با صفر باشند. وقتی که ضریب الاستیک 
محاسبه شود، قانون لوله را می توان به صورت 
ارایش کرد و ضریب الاستیک 
با رگرسیون خطی براورد کرد
پارامتر های ویسکو الاستیک
برای براورد پارامتر های ویسکوالاستیک، تابع هزینه تعریف شده توسط خطای مربع میانکین ریشه بین سیگنال ازمایشی فشار 
و پیش بینی های عددی 
محاسبه کرد
که N تعداد نقاط داده زمانی و Psim بستگی به جریان اصطکاک و ویسکوزیته دیواره مدول ثابت یانگ دارد. برای هر بار ما سری های زمانی سطح مقطع A را از معادله 1 اجرا کرده و پیش بینی عدد فشار را محاسبه می کتیم. در عمل، CF ثابت برای مقادیر مختلف از 
تا 
متغیر است. این موضوع در خصوص رویکرد بیشترین شیب از تابع کمینه صدق می کند که در آن یگ جهت جست جوی جدید با قبلی متعامد است. بهینه سازی پارامتر بر روی دو نقطه A-B انجام شد.
نتایج
در این بخش ما ننایج براورد پارامتر ها را با روش توصیف شده قبلی ارایه می کنیم. توجه کنید که وضعیت نهایی داده های ازمایشی و نتایج عددی دارای فشار بیشتری از وضعیت اولیه است. دلیل این است که ما موج نیمه سینوسی را در ورودی قرار داده و از این روی حجم خالص 4.5 سانتی متر مکعب سیال بود. تنها در زمانی که انتگرال گرفته می شد، یک دوره کامل در ورودی برای کاهش اثرات خارجی در نظر گرفته شد.
مدول یانگ
های ورود سیگنال ها و پیش بینی ها در نقاط ازمایشی A-B حداقل بو.د. شگل 5 تغییرات زمان های ورود را نشان می دهد/
این مقدار با روش یکپارچه براو.رد می شود و 8 درصد بزرگ تر از معیار کششی است.
شگل 3: سری های زمانی فشار در نقطه اندازه گیری A.. مدل الاستیک برای پیش بینی شوک استفاده می شود. افزایش اصطکاک موجب کاهش نوسان به طور معنی دار می شود.
شکل 4: آزمایشات و شبیه سازی ها در نقطه اندازه گیری A. سمت چپ: سری های فشار زمانی، سمت راست: طیف سری های فشاری.
جدول 2: مدول یانگ و ویسکوالاستییته پلیمر محاسبه شده با سه رویکرد: بهینه سازی مدل یک بعدی، داده ازمایشی شعاع-فشار و تست کششی
اصطکاک سیال و ویسگوزیته دیواره
اصطکاک سیال و ویسگوزیته دیواره
دو عامل میرایی در معادله مدل می باشند. نکته کلیدی توانایی تعیین زمان جست و جوی مقادیر بهینه است.
در ابتدا ما از مدل الاستیک خالص استفاده کرده و ضریب اصطکاک CF متغیر بود. شکل 3 میزان اجرا را به سه مقدار ضریب اصطکاک نشان می دهد. با استفاده از مقدار اول، پروفیل سهمی و امواج فشار با دو ویژکی تعین شد:
- ما بزرگی فشار را بیش از مقدار واقعی براورد کرده
- ناپیوستگی ها یا شوگ ها بر عکس اندازه گیری ازمایشی توسعه داده شد. دومین مقدار مربوط به اسمیت و همکاران 2002 بوده و دیده می شود که مقدار دامنه نزدیک به مقدار ازمایشی است. سومین مقدار بهترین پیش بینی را از حیث بزرگی شوگک و ناپیوستگی می دهد.
جدول 3 خلاصه ای از مقادیر مختلف CF را نشان می دهد که متناظر با شعاع NRMS می باشد. مشاهده می شود که برای افزایش مقادیر Cf، پارامتر فی یا 
کاهش می یابد. حداقل باقی مانده NRMS به موج 4 رسیده و مقادیر استانه بد تر می شود.
شکل 6: سری های زمانی فشار با عدم قطعیت 20 درصد
در ابتدا مشاهده شد که ناپیوستگی ها یا شوگ ها ناپدید شده و بزرگی سه موج نزدیک به داده ازمایشی تعیین شد. ولی در 2 مورد از سری ها جبهه موج موج 7 شیب بیشتری از بقیه دارد. این تفاوت زمانی مشهود است که طیف توان سری های زمانی ترسیم شوند. به این ترتیب مولفه های با فرکانس بالا را بهتر می توان درک کرد. پارامتر های ویسکوالاستیک براورد شده با روش های ارایه شده در جدول 2 نشان داده شده اند. این مقادیر را می توان با برازش داده با مدل 1 بعدی بدست اورد.
شکل 7: سری های زمانی در نقاط اندازه گیری با دو طرح عددی. سمت چپ: ستون راست"روش اندازه کیری مک کارمک، پایین روش MUSCL
مطالعه حساسیت
شکل 5 حساسیت پارامتر را برای مدول یانگ E را با واریانس 10 درصد حول E0 نشان می دهد. زمان ورود هر پیک وقتی که E کاهش می یابد به تاخیر می افتد
ما اقدام به تست حساسیت مدل 
و 
کردیم.برای دو مورد اول، عدم قطعیت 20 درصد منجر به واریانس متوسط از موج می شود/ خروجی حساسیت CF و فی دارای ترتیب یکسانی است. بر عگس، وقتی که الفا در دامنه 1 تا 1.3 باشد، تفاوت زیادی بین پیش بینی های عددی وجود خواهد داشت. از این روی مقدار الفا به صورت 1 است. لذا یک سری روش های حساسیت پیچیده وچود دارند که در حوزه این مطالعه نمی گنجند
بحث
ما به ارزیابی سفتی و اصطکاک در یک مدل دینامیک سیال 1 بعدی غیر خطی با قانون ویسکو الاستیک برای مکانیک دیواره در برابر داده های ازمایشی پرداختیم.
مقادیر سفتی درگ ها که با مدل یک بعدی ارزیابی شد با مقادیر بدست امده از تست کششی یکسان بود. واریانس کوچک در سفتی به طور قابل توجهی موجب تغییر فشار میانگین، فشار پالس و سرعت موج شد.تحت فشار عملیاتی، ویژگی غیر خطی بودن نشان داده شده است. با این حال، این ویژگی تحت شرایط فیزیولوژیکی مهم تر است. بسیاری از مطالعات برای ارزیابی الاسیتسیه غیر خطی شریان های سرخرگ تحت شرای طواقعی استفاده شدند.
اصطکاک سیال و ویسکوزیته دیواره از داده های ازمایشی با مدل یک بعدی برازش یافتند. ما از هم خوانی بین نتایچ مدل 1 بعدی و ازمایشات استفاده کردیم. در صورتی که فرض شود پروفیل دارای شکل یکسانی در هر مقطع عرضی در امتداد محور عمودی باست، تابع سرعت را می توان به صورت زیر تفکیک کرد: و u به صورتسرعت متوسط است. در صورتی که معلوم باشد، پارامتر الفا و مشتق در جمله تابع را می توان محاسبه کرد. تابع کشش را می توان به صورت اندازه گیری کرد. پروفیل شعاعی به شدت به عدد مورزلی بستگی دارد که با تعریف می شود که در آن مقدار فرکانس زاویه ای می باشد که جریان را مشخص می کند. در صورتی که و v ثابت باشند، تنها شعاع بر الفا و Cf اثر دارد که مقادیر آن باید با ازمایشاتی برای رگ های با قطر های مختلف تعیین شود. وقتی که نیروی اینرسی بزرگ باشد پر.فیل به صورت است. با لایه مرزی ویسگوز نازک، مرکز و شرایط مرزی غیر لغزشی را می توان براورد کرد. وقتی نیروی اینرسی کوچک باشد، پر.فیل به صورت سهمی است و نیروی ویسکوزیته غالب است. با پرفیل قانون توان، می توان جریان خون را به صورت و محاسبه کرد. مقدار Cf در سایر مطالعات تجربی نظیر( الستری 2011، مارکیندز و همکران 2009) گزارش شده است.
در صورتی که عدم قطعیت های ازمایشی در نظر گرفته شوند می توان براورد کرد که , و است. نتایج ما نشان می دهد که در موارد با جریان خون با عدد ورمسلی مشابه، مدل پنزنیل اصطکاک سیال را کم تر از مقدار واقعی براورد می کند. مقدار را می توان در سرخگ های بزرگ به صورت قابف قبول در نظر گرفت. با این حال در رگ های گوچک تر، عدد ورمزلی کم تر از 1 است و پروفیل سرعت ظاهر می شود و Cf به 
کاهش می یابد. اصطکاک در کلسیستم قلبی عروقیمتغیر است و مقدار کم تر Cf باید در صورتی در نظر گرتفه شود که عدد مرمزلی کوچک تر باشد/.
