نمونه ترجمه تخصصی ریاضی

مدل های تخفیف

 

چکیده

تخفیف، تفاضل بین ارزش اسمی یک اوراق قرضه و ارزش فعلی آن است. در این مقاله، یک چارچوب پویای بدون آربیتراژ برای مدل های تخفیف پیشنهاد می کنیم که جایگزینی برای چارچوب هث-جاروف-مورتون برای نرخ های مستقیم (forward rates) فراهم می کند. شرایط پایداری عمومی برای مدل های عامل را استخراج می کنیم و بخصوص در مورد مدل های ساختار شرایط مستوی یا آفین بحث می کنیم. چندین مسئله حل نشده وجود دارد و جهت های پژوهشی ممکن برای مطالعات آتی را تشریح می کنیم.

 

سفارش ترجمه تخصصی

 

کلمات کلیدی: تخفیف، مدل های عاملی، معادله دیفرانسیل جزئی احتمالاتی، مدل های ساختار شرط؛ اوراق قرضه بدون کوپن.

1. تخفیف

فرض کنید P(t,T)  نشان دهنده قیمت یک اوراق قرضه بدون کوپن با تاریخ سررسید T در زمان t، یا به بطور خلاصه T-bond باشد. «تخفیف» را به صورت زیر تعریف می کنیم:

Ht,T≔1-P(t,T)

 

تخفیف H(t,T) ، تفاضل بین ارزش اسمی اوراق قرضه و ارزش فعلی آن است. این همان سود کسب شده هنگام سرمایه گذاری در یک T-bond در زمان t و نگهداری آن تا تاریخ سررسید T است. به این صورت، ارزش زمانی پول را سنجش می کند. همچنین برابر است با قیمت یک موقعیت لانگ در زمان t با سفته نرخ شناور که نرخ های شورت شبانه r_t=-∂_TPt,T|_T=t  منهای یک موقعیت شورت در یک T-bond را پرداخت می کند. این پورتفوی شورت/لانگ را «تخفیف T» می نامیم. جریان نقدی خالص بی نهایت کوچک تولید شده توسط «تخفیف T» در هر t≤T  برابر با r_tdt  و پس از T  برابر با صفر است. پرداخت سود نرخ شناور به ذینفع ها و اوراق قرضه کوپن صفر در دوره T همدیگر را جبران می کنند. بنابراین، یک تخفیف T، مشابه با قسمت شناور یک سواپ شاخص دار شبانه با سررسید T می باشد.

فرایند کسب سود، برای مثال، Gt,T  از نگهداری یک تخفیف T در بازه زمانی [0,t] ، زمانی که جریان های نقدی بطور پیوسته در حساب بازار پول سرمایه گذاری می شوند و در نرخ شورت سود کسب می کند، با حاصلجمع زیر بدست می آید:

1. 1.                   Gt,T=₀^te^_str_udur_sdsانباشته نقدی جریان+Ht,Tاسپات مقدار=e^₀tr_sds-Pt,T.

 

2. چارچوب تخفیف

مشابه با رویکرد هث-جاروف-مورتون (HJM) [8] برای مدل سازی نرخ های سلف، ft,T=-∂_TlogPt,T ، اکنون یک چارچوب پویای بدون آربیتاژ برای مدل های تخفیف ارائه می دهیم. با یک فضای احتمال صافی شده Ω,F,F_tt≥0,Q  شروع می کنیم که در شرایط معمول صدق می کند و یک حرکت براونی استاندارد n بعدی W را حمل می کند. جهت سادگی توضیحات، از جزئیات فنی می گذریم و در کل این مقاله فرض می کنیم که همه فرایندهای اتفاقی، وفق داده شده اند و به اندازه کافی منظم است به نحوی که عملیات های دارای دیفرانسیل و انتگرال، خوش تعریف هستند. برای مشاهده جزئیات فنی، همچنین در مورد قیمت گذاری آربیتراژ، به بیورک [1، فصل 19] و فیلیپوویچ [4، فصل 4] مراجعه نمایید.

یادآوری می کنیم که Q  یک معیار ریسک خنثی یا «مارتینگل (محلی)» برای بازار اوراق قرضه است اگر همه فرایند های قیمت T-bond تخفیف دار e^-₀tr_sdsPt,T_0≤t≤T  ،، ℚ -مارتینگل (محلی) باشند. با توجه به (1،1) این امر صدق می کند اگر و تنها اگر همه فرایندهای بهره های تخفیف T تخفیف دار  e^-₀tr_sdsGt,T_0≤t≤T ، ℚ -مارتینگل (محلی) باشند. مشهور است که بازار اوراق قرضه بدون آربیتراژ است اگر و (اساساً) تنها اگر ℚ یک معیار مارتینگل محلی باشد؛ برای مثال به [1، فصل 11] یا [4، بخش 4.3.4] مراجعه نمایید.

قیمت تخفیف T را در هر t≤T  را برحسب مشتق سررسید آن

Ht,T=_t^Tht,sds

نشان می دهیم که در آن فرض می شود مشتق تخفیف h(t,T)  از یک فرایند «ایتو» (Ito ) با پویایی هایی به شکل زیر

1. 2.                               dht,T=αt,Tdt+σt,TdW_t

به ازای تعدادی فرایند drift و نوسانات به ترتیب αt,T  و σt,T ، پیروی می کند. سپس، قیمت T-bond را به صورت زیر مشخص می کنیم:

(2.2)                                 Pt,T=1-_t^Tht,sds.

تصریح T-bond (2.2)، همتای خطی شده رابطه معروف Pt,T=e^-_tTft,sds  است. با مشتق گیری برحسب T، رابطه بین مشتق تخفیف و نرخ سلف به صورت زیر بدست می آید:

ht,T=Pt,Tf(t,T)

بخصوص اینکه،

(3.2)                                             ht,t=ft,t=r_t

برابر است با نرخ شورت.

مسئله اصلی در رویکرد خطی ما این است که قیمت های T-bons باید مثبت باشد، Pt,T>0  که معادل است با الزام اینکه

(4.2)                                 _t^Tht,sds<1   for all t≤T.

مثبت بودن قیمت های اوراق قرضه دنبال می شود، بخصوص اگر بتوانیم نشان دهیم که Q  یک معیار مارتینگل برای بازار اوراق قرضه است که بوسیله (1.2) و (2.2) تصریح شده است. اکنون شرایط لازم و کافی برای صدق کردن آنرا استخراج می کنیم. بنابراین فرض می کنیم h(t,T) ، بوسیله(1.2) بدست می آید و قیمت های T-bond را طبق (2.2) و نرخ های شورت را طبق (3.2)، تعریف می کنیم. در اینجا، نتیجه اول ما، که نشان می دهد drift  αt,T  بوسیله این الزام که Q ، یک معیار مارتینگل محلی است، کاملاً تعیین می شود.

 

 

گزاره 1.2. معیار ℚ  یک معیار مارتینگل محلی است اگر و تنها اگر شرایط drift تخفیف زیر را داشته باشیم:

(5.2)                                 αt,T=ht,Tht,t.

برهان. پویایی های قیمت T-bond مورد اشاره از قرار زیر می باشند:

(6.2)                     dPt,T=-d_t^Tht,sds
=r_tdt-_t^Tαt,sdsdt-_t^Tαt,sdsdW_t.

از سوی دیگر، فرایند قیمت T تخفیف دار (e^-₀tr_sdsP(t,T) ) یک ℚ-مارتینگل محلی است اگر و تنها اگر دریفت Pt,T  برابر باشد با Pt,Tr_tdt . تطابق دادن این با دریفت معادله (6.2) به ما می دهد _t^Tαt,sds=Ht,Tr_t . با مشتق گیری برحسب T ، (5.2) را بدست می آوریم که نتیجه را اثبات می کند.

□

با توجه به شرط دریفت (5.2) و با استفاده از وجود یک معیار مارتینگل محلی به صورت مترادف برای عدم وجود آربیتراژ، می توانیم بیان کنیم که پویایی های عامل (1.2) برای مدل مشتق تخفیف بدون آربیتراژ به ازای یک منحنی مشتق تخفیف اولیه h₀  به شکل زیر است:

(7.2)                                 dht,T=ht,Tht,tdt+σt,TdW_t,    0≤t≤T
h0,T=h₀T,

توجه داشته باشید که برعکس شرط دریفت HJM بر نرخ های سلف (برای مثال به [4، قضیه 1.6] مراجعه نمایید، شرط دریفت مشتق (5.2) به نوسانات σ(t,T)  بستگی ندارد.

در ادامه نشان می دهیم که به ازای یک ساختار نوسان معین σt,T ، سیستم معادلات دیفرانسیل اتفاقی (7.2)، بطور یکتا h(t,T)  را تعریف می کند.

 

لم 2.2. برای یک فرایند نوسانی معین σ(t,T) ، 0≤t≤T<∞  و منحنی مشتق تخفیف اولیه h₀ ، حداکثر یک جواب h(t,T) ، 0≤t≤T<∞  برای (7.2) وجود دارد.

 

برهان. فرض کنید h  و h  جواب هایی برای (2.7) باشند. بنابراین، تفاضل تخفیف داده شده آنها

qt,T≔e^-₀ths,sdsht,T-ht,T

در

(8.2)                                 dqt,T=ht,Tqt,tdt,  q0,T=0

صدق می کند.

با انتگرالگیری به ازای T=t  داریم،

qt,t=₀^ths,tqs,sds      همه ازای به t≥0

 

ادعا می کنیم که به ازای همه t≥0 ، qt,t=0  و بنابراین طبق (8.2)، h=h . در واقع، طبق تناقض، فرض می کنیم که وجود دارد 0≤t₀<t₁  چنانکه به ازای همه s≤t₀ ، qs,s=0  و qt₁,t₁>0 . فرض می کنیم β(s)  یک فرایند مثبت باشد چنانکه به ازای همه t₀≤s≤t≤t₁ ، hs,t≤β(s)  باشد. آنگاه به ازای همه t∈[t₀,t₁] ، داریم qt,t≤_t0^tβs|qs,s|ds  و نامساوی گرونوال بیان می کند که به ازای همه t∈[t₀,t₁] ، qt,t=0 . این با فرض ما تناقض دارد بنابراین ادعا اثبات می شود.

□

این مسئله نشان می دهد که ما هنوز هیچ تضمینی نداریم که قیمت اوراق قرضه در (2.2) مثبت باشند. نتیجه اصلی ما، قضیه زیر است که شرایط کافی فراهم می کند چنانکه چارچوب تخفیف (2.7)، تعریف کننده یک سیستم قیمت بدون آربیتراژ برای T-bonds می باشند. بنابراین، نشان دهنده یک جایگزین برای چارچوب HJM نرخ های سلف است.

 

قضیه 3.2. فرض کنید h(t,T) ، 0≤t≤T<∞ ، هر جوابی برای (2.7) باشد چنانکه r_t=ht,t  خوش تعریف باشد و

(9.2)                                 ₀^te^-₀sr_uduσs,TdW_s,0≤t≤T ، یک ℚ مارتینگل به ازای همه T ها باشد.

آنگاه ℚ یک معیار مارتینگل است و قیمت های T-bond اشاره شده در (2.2) در

                                        

                                                                        

صدق می کند، و بنابراین مثبت هستند، یعنی، بخصوص (4.2) معتبر است.

 

برهان. فرض کنید h(t,T) ، 0≤t≤T<∞ ، یک جواب مثبت برای (2.7) باشد. نشان می دهیم r_t=h(t,t)  و قرار می دهیم

Mt,T≔e^-₀tr_sdsh(t,T)

بنابراین Mt,T ، دریفت و دینامیک های صفر دارد

dMt,T=e^-₀tr_sdsσt,TdW_t,

و بنابراین، طبق فرض (9.2)، یک ℚ-مارتینگل است. بدست می آوریم:

(10.2)                               ht,T=e^₀tr_sdsMt,T
=e^₀tr_sdsE_QMT,T|F_t
=E_Qe^-_tTr_sdsr_T|F_t

با انتگرالگیری برروی T داریم

Ht,T=_t^Tht,udu
=E_Qt^Te^-_tur_sdsr_udu|F_t
=1-E_Qe^-_tTr_sds|F_t

(11.2)

در نتیجه برهان کامل می شود.

□

توضیحات زیر، جزئیات و بحث بیشتری در مورد چارچوب تخفیف بیان شده در بالا فراهم می کنند.

 

توضیح 4.2. همانی های (10.2) و (11.2)، منافع مستقل دارند و معنای اقتصادی h(t,T)  و H(t,T)  را به ترتیب به صورت ارزش فعلی جریان های نقدی r_T  و r_u   به ازای u∈t,T  را نشان می دهند.

 

توصیح 5.2. عبارت (6.2) نشان می دهد که نوسانات ایجاد شده v(t,T)  در بازده T-bond با عبارت Pt,Tvt,T=-_t^Tσt,sds  بدست می آید.

 

توضیح 6.2. معیار فیزیکی معادل P≅Q  بوسیله قیمت بازار ریسک θ  به Q  ارتباط پیدا می کند به نحوی که مشتق رادون-نیکودیم در عبارت زیر صدق کند

E_QdPdQ|F_T=exp₀^Tθ_tdW_t-12₀^Tθ_t²dt

به ازای هر افق زمانی T>0 . این باعث بدست آمدن حرکت ℙ-براونی dW_t^P=dW_t-θ_tdt  می شود. بنابراین دینامیک های تحت P  مربوط به h(t,T)  به صورت زیر می باشند:

 

dht,T=h(t,Tht,t+σt,Tθ_t)dt+σt,TdW_t^P

 

توضیح 7.2. برهان های لم 2.2 و قضیه 3.2 به ویژگی های فنی اتکا می کنند، برای مثال اینکه T→ht,T  محلاً به T≥t  کراندار است یا اینکه مرتبه انتگرال گیری و انتظارات را می توان تغییر داد. با تحمیل فرض های فنی کافی، می توان بر چنین ویژگی هایی ادعا کرد.

 

توضیح 8.2. وجود یک جواب برای دستگاه معادلات (7.2) SDE ها، یک مسئله حل نشده است. وجود می تواند یک مسئله از نظر دریفت درجه دوم (5.2) باشد که می تواند باعث انفجار در زمان متناهی شود. مثال 9.2 و بخش 3.3 مشخصات بدون انفجار را به ما نشان می دهند. یکی از رویکردهای طبیعی برای یک مطالعه نظامند این است که (7.2) را به صورت یک معادله دیفرانسیل جزئی احتمالاتی برای منحنی مشتق تخفیف ψ_tx≔h(t,t+x)  در یک فضای تابعی مناسب H بیان کنیم. چنین SPDE به شکل زیر است:

(12.2)                   dψ_tx=∂_xψ_tx+ψ_txψ_t0dt+Bψ_tdW_t

به ازای یک عملگر نوسانات مناسب B:H→Hⁿ  چنانکه σt,t+.=B(ψ_t)  باشد. مثالی از یک فضای تابعی مناسب، فضای سوبلوف موزون H_w  متشکل از توابع ضعیفاً مشتق پذیر ψ:0,∞→R  با

ψ_w²≔₀^∞ψ^'x²wxdx<∞

 

و ψ∞=0  به ازای تابع وزنی افزایشی و پیوسته مشتق پذیر w  می باشد، چنانکه ₀^∞w^1/3xdx<∞ . یکی از مثالهای آن می تواند wx=e^αx  به ازای یک α>0  باشد. این مشابه با فضای H_w  معرفی شده در کتاب فیلیپویه [3، فصل 5] می باشد. می توان مثل [3، معادله (7.5)] نشان داد که نرم-L¹  هر ψ∈H_w  به ازای یک ثابت متناهی C_w ، به عبارت ₀^∞ψxdx≤C_wψ_w  کراندار است. علاوه بر آن می توان مثل [3، قضیه 1.1.5] نشان داد که عملگر دیفرانسیل ∂_x  یک نیم گروه قویاً پیوسته برروی H_w  تولید می کند. بنابراین، می توان وجود و یکتایی جواب های (محلی) متعادل و ضعیف برای (12.2) را طبق دا پراتو و زابجزیک [2، فصل 7]، مطالعه نمود. در حقیقت، یکتایی زمانی صدق می کند که به محض اینکه عملگر نوسانات B(ψ_t)  در ψ_t ، پیوسته لیپشیتز باشد؛ به [3، نتیجه 1.4.2] مراجعه نمایید. این بهبود یافته مستقیم لم 2.2 است زیرا، در آنجا فرض کرده ایم که فرآیند نوسانات (α(t,T) ) به صورت برونزاد بیان شده است و به ψ_t  بستگی ندارد. بطور مشابه، وجود جهانی صدق می کند اگر بتوان نشان داد که هر جواب ضعیف محلی (12.2) با ψ_0w<C_w^-1  کراندار باقی می ماند از این نظر که به ازای همه t≥0 ، ψ_tw<C_w^-1  است. در ترکیب با کران-L¹  بیان شده در بالا، این به معنای آن است که ht,s=ψ_t(s-t)  در (4.2) صدق می کند، بگونه ای که قیمت اوراق قرضه استقرا شده (2.2) مثبت هستند.

برای حالت قطعیتی ویژه که در آن B≡0  است، جواب محلی یکتا برای (12.2) به صورت زیر بدست می آید:

 

ψ_t=ψ₀t+x1-₀^tψ₀sds

 

این جواب در زمان متناهی منحرف نمی شود، اگر و تنها اگر منحنی اولیه در (4.2) صدق کند، یعنی ₀^tψ₀sds<1  به ازای همه t های متناهی. در این حالت، به آسانی می فهمیم که همچنین ψ_t  در (4.2) صدق می کند، زیرا به ازای همه T≥t  متناهی، ₀^T-1ψ_txds=₀^Tψ₀sds-₀^tψ₀sds1-₀^tψ₀sds^-1<1  می باشد.

مثال زیر نشان می دهد که چارچوب تخفیف (7.2)، جواب های سراسری را قبول می کند.

 

مثال 9.2. یک تصریح مدل اسباب بازی ساده به ازای یک تابع قطعیتی ϕ  با ϕ0=1 ، به صورت ht,T=ϕT-tr_t  می باشد و جایی که نرخ شورت r_t  یک فرایند ایتو (Itô) به شکل dr_t=μ_tdt+v_tdW_t  را پیروی می کند. دینامیک های القا شده h(t,T)  به صورت زیر است می باشند.